Day 44 837. 新21点

837. 新 21 点

题目

爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：

爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。

抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。

 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。

当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？

 

示例 1：

输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：

输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：

输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
 

提示：

0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。

题目思路

• 本题不仅使用滑动窗口来减小重复计算，还需要用动态规划来建立状态转移方程。

• 题意是：从 0 分开始，手中分数小于 K 时就随机抽取，每次从 [1, W] 中抽到的概率互相独立，均为 1 / W。令 dp[x] 表示从得分为 x 的情况开始游戏并获胜的概率，目标是求 dp[0] 的值。整个题目给人一种用全概率公式求解条件概率的感觉，前一次抽取的结果会影响后续的抽取和结论，与马尔可夫链如出一辙；查了查书发现确实如此，于是应用马尔可夫链的相关结论，可以得到状态转移方程：

  $$
  dp\left[ x \right] =\frac{\sum_{i=1}^w{dp\left[ x,,+,,i \right]}}{w}
  $$

• 本题应该属于较难的题目，思想方法不易理解，需要较强的概率论基础。

题目代码

class Solution {
public:
    double new21Game(int n, int k, int w) {
        double dp[k + w];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        double ans = 0.0;
        for(int i = k; i < k + w; i++)
        {
            dp[i] = i <= n ? 1 : 0;
            ans += dp[i];
        }
        for(int i = k-1; i >= 0; i--)
        {
            dp[i] = ans / w;
            ans = ans - dp[i + w] + dp[i];
        }
        return dp[0];
    }
};

复杂度

• 时间复杂度：O(n + k)

• 空间复杂度：O(n + k)